अक्षरों $AAAABBBC$ के सभी क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें सभी $A$ एक $4$ अक्षरों के ब्लॉक में एक साथ आते हैं या सभी $B$ एक $3$ अक्षरों के ब्लॉक में एक साथ आते हैं।

छात्रों $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{10}$ को $3$ समूहों $A, B$ और $C$ में इस प्रकार विभाजित किया जाना है कि प्रत्येक समूह में कम से कम एक छात्र हो और समूह $C$ में अधिकतम $3$ छात्र हों। तो ऐसे समूहों को बनाने की कुल संभावनाओं की संख्या ........ है।

अंग्रेजी वर्णमाला का उपयोग करके बनने वाले $4$-अक्षर के क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए,जिसमें भिन्न स्वरों की संख्या और भिन्न व्यंजनों की संख्या समान हो,जब पुनरावृत्ति की अनुमति हो।

$INCONVENIENCE$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले कम से कम एक पुनरावृत्त अक्षर वाले सभी पाँच अक्षरों के शब्दों (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) की संख्या क्या है?

$3n$ भिन्न वस्तुओं को $3$ व्यक्तियों के बीच समान रूप से कितने तरीकों से वितरित किया जा सकता है?

$(2 \cdot {}^{1}P_{0} - 3 \cdot {}^{2}P_{1} + 4 \cdot {}^{3}P_{2} - \dots 51^{\text{th}} \text{ पद तक}) + (1! - 2! + 3! - \dots 51^{\text{th}} \text{ पद तक})$ का मान ज्ञात कीजिए।